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数量关系

和差倍比​

常见倍数：

  • 22/55 倍：末一位为 22/55 倍数。
  • 44/2525 倍：末两位为 44/2525 倍数。
  • 88/125125 倍：末三位为 88/125125 倍数。
  • 33/99 倍：数字加和为 33/99 倍数。

若 AB=mn\frac{A}{B} = \frac{m}{n}，则：

  • AA 是 mm 的倍数，BB 是 nn 的倍数。
  • A±BA\pm{B} 是 m±nm\pm{n} 的倍数。
公因子

ax+by=Max + by = M， 当 aa 或 bb 与 MM 有公因子时， 剩余部分一定是公因子的倍数。

不定方程

ax+by=Max + by = M：

  • 倍数法：aa 或 bb 与 MM 有公因子时，考虑倍数特性。
  • 尾数法：aa 或 bb 尾数是 00/55 时，考虑尾数。
  • 奇偶性：aa 和 bb 恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。
  • 代入法。

工程​

  1. 给完工时间：赋工作总量 WW，P=WtP = \frac{W}{t}
  2. 给效率比例：赋效率
    • 直接给：P甲P乙=32\frac{P_\text{甲}}{P_\text{乙}} = \frac{3}{2}
    • 间接给：P甲×2=P乙×3P_\text{甲}\times{2} = P_\text{乙}\times{3}
    • 特殊给：P每个人=1P_\text{每个人} = 1
  3. 给比例求比例：赋值。
  4. 给 WW 或 PP 具体数值单位：方程法。

经济利润​

  1. 给具体数值单位：方程法或公式法：
    • 利润=售价−进价\text{利润} = \text{售价} - \text{进价}
    • 利润率=利润÷进价\text{利润率} = \text{利润} \div \text{进价}
    • 售价=进价×(1+利润率)\text{售价} = \text{进价} \times (1 + \text{利润率})
    • 打折率=折后价÷折前价\text{打折率} = \text{折后价} \div \text{折前价}
    • 总价=单价×数量\text{总价} = \text{单价} \times \text{数量}
  2. 给比例求比例：
    • 只涉及金额：赋成本为 100 元。
    • 涉及金额与数量：赋成本为 100 元，赋总量为 10 个。
  3. 最值利润：两点式。

行程​

火车过桥：

  • 火车完全通过桥：路程=桥长+车长\text{路程} = \text{桥长} + \text{车长}
  • 火车完全在桥上：路程=桥长−车长\text{路程} = \text{桥长} - \text{车长}

流水行船：

  • 顺流速度=船速+水速\text{顺流速度} = \text{船速} + \text{水速}
  • 逆流速度=船速−水速\text{逆流速度} = \text{船速} - \text{水速}

相遇追及：

  • s和=v和×t相遇s_\text{和} = v_\text{和} \times t_\text{相遇}
  • s差=v差×t追及s_\text{差} = v_\text{差} \times t_\text{追及}
  • 环形路径：s=N 圈长度s = \text{N 圈长度}
  • 两端往返：s和=(2n−1)ss_\text{和} = (2n-1)s
  • 牛吃草：原有草量=(牛数×吃草速度−草生长速度)×时间\text{原有草量} = (\text{牛数} \times \text{吃草速度} - \text{草生长速度}) \times \text{时间}
  • 进水出水：原有积水量=(人数×排水速度−进水速度)×时间\text{原有积水量} = (\text{人数} \times \text{排水速度} - \text{进水速度}) \times \text{时间}

匀变速运动：

  • vt=v0+atv_t = v_0 + at
  • vˉ=v0+vt2\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}
  • s=vˉt=v0+vt2t=v0t+12at2s = \bar{v}t = \frac{v_0 + v_t}{2}t = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = vt2−v022a\frac{v_t^2 - v_0^2}{2a}
赋值法

三量关系只知其一时， 赋值法快速求解：

  • W=PtW = Pt：给完工时间赋工作总量，给效率比例赋效率。
  • s=vts = vt：给行驶时间赋路程或速度。

几何​

周长：

  • 正方形：4a4a
  • 长方形：2(a+b)2(a+b)
  • 圆形：2πR2\pi R
  • 弧长：2πR×n3602\pi R \times \frac{n}{360}

面积：

  • 正方形：a2a^2
  • 长方形：abab
  • 三角形：12ah\frac{1}{2}ah
  • 圆形：πR2\pi R^2
  • 扇形：πR2×n360\pi R^2 \times \frac{n}{360}
  • 梯形：12(a+b)h\frac{1}{2}(a+b)h
  • 菱形：对角线乘积÷2=d1d22\text{对角线乘积} \div 2 = \frac{d_1 d_2}{2}

表面积：

  • 正方体：6a26a^2
  • 长方体：2(ab+bc+ac)2(ab+bc+ac)
  • 圆柱体：2πR2+2πRh2\pi R^2 + 2\pi Rh
  • 球体：4πR24\pi R^2

体积：

  • 正方体：a3a^3
  • 长方体：abcabc
  • 柱体：ShSh
  • 锥体：13Sh\frac{1}{3}Sh
  • 球体：43πR3\frac{4}{3}\pi R^3

勾股定理（a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2）：

  • 3n, 4n, 5n.
  • 5n, 12n, 13n.
  • 6n, 8n, 10n.
  • 7n, 24n, 25n.
  • 8n, 15n, 17n.
  • 9n, 40n, 41n.
  • 最短路径：做对称点 B'，连接 AB'，交点即为最短路径点。

排列组合​

  • 分类用加法（要么……要么……），分步用乘法（既……又……）。
  • 有序用排列，无序用组合。
  • 必须相邻捆绑法：先捆再排。
  • 不能相邻插空法：先排再插。
  • 同素分堆隔板法：
    • 至少为 11：Cn−1m−1C_{n-1}^{m-1}
    • 至少为 00：Cn+m−1m−1C_{n+m-1}^{m-1}
    • 至少为 ss：Cn−Σ(si−1)−1m−1C_{n-\Sigma(s_i-1)-1}^{m-1}

路径计数​

  1. C总步数水平步数C_\text{总步数}^\text{水平步数}
  2. 标点计数：标记从起点出发的路径数。

路径计数

错位重排​

Dn=(Dn−2+Dn−1)(n−1)D_n = (D_{n-2} + D_{n-1})(n-1)： D1=0D_1 = 0，D2=1D_2 = 1，D3=2D_3 = 2，D4=9D_4 = 9，D5=44D_5 = 44

错位重排

跟屁虫​

两个主体相同目标的概率：

  • 1×1C1031\times\frac{1}{C_{10}^3}
  • 1×1×C41C741\times\frac{1\times C_4^1}{C_7^4}

数列​

等差数列：

  • 通项公式：an=a1+(n−1)×da_n = a_1 + (n-1) \times d
  • 求和公式：Sn=a1+an2×n=中位数×项数S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n = \text{中位数} \times \text{项数}
  • 任意两个项目限定差值（e.g. 无相同项），求最少或最多。

等比数列：

  • 通项公式：an=a1×qn−1a_n = a_1 \times q^{n-1}
  • 求和公式：Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \frac{a_1 (1-q^n)}{1-q}
  • 任意两个项目限定比值（e.g. 倍数），求最少或最多。

构造数列：

  1. 排序定位
  2. 求谁设谁
  3. 反向构造（至多/至少）
  4. 加和求解

猜题技巧​

  • 倍数猜题：总人数 50 -> 3:2, 相遇速度 60:80 -> 距离 140n
  • 选项猜题: 选项 A + 选项 B -> 选项 C, 至少 -> 选项 +1
  • 几何猜题: 测量, 范围